复变函数证明题z=x+iy求证：(|x|+|y|)/根号2小于等于|z|小于等于|x|+|y|

Question

复变函数证明题
z=x+iy
求证：(|x|+|y|)/根号2 小于等于 |z| 小于等于 |x|+|y|

Answer 1

首先|z|=根号下(x²+y²)
(|x|+|y|)/根号2 平方得到(x²+y²+2|x||y|)/2≤(x²+y²+x²+y²)/2=x²+y²
所以有(|x|+|y|)/根号2 小于等于 |z|
x²+y²≤x²+y²+2|x||y|=( |x|+|y|)²
所以有 |z| 小于等于 |x|+|y|