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(2012•泰兴市一模)定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.(1)如图1,损矩形ABCD,∠ABC=∠ADC=90°,则该损矩形的直径是
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(2012•泰兴市一模)定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
(1)如图1,损矩形ABCD,∠ABC=∠ADC=90°,则该损矩形的直径是线段______.
(2)在线段AC上确定一点P,使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上),请作出这个圆,并说明你的理由.友情提醒:“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹.
(3)如图2,△ABC中,∠ABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF的中心,连接BD,当BD平分∠ABC时,判断四边形ACEF为何种特殊的四边形?请说明理由.若此时AB=3,BD=,求BC的长.
(1)如图1,损矩形ABCD,∠ABC=∠ADC=90°,则该损矩形的直径是线段______.
(2)在线段AC上确定一点P,使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上),请作出这个圆,并说明你的理由.友情提醒:“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹.
(3)如图2,△ABC中,∠ABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF的中心,连接BD,当BD平分∠ABC时,判断四边形ACEF为何种特殊的四边形?请说明理由.若此时AB=3,BD=,求BC的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据题中给出的定义,由于∠DAB和∠DCB不是直角,因此AC就是损矩形的直径.
(2)根据直角三角形斜边上中线的特点可知:此点应是AC的中点,那么可作AC的垂直平分线与AC的交点就是四边形外接圆的圆心.
(3)本题可用面积法来求解,具体思路是用四边形ABCD面积的不同表示方法来求解,四边形ABCD的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积=三角形ABC的面积+三角形ADC的面积;三角形ABD的面积已知了AB的长,那么可过D作AB边的高,那么这个高就应该是BD•sin45°,以此可得出三角形ABD的面积;三角形BDC的面积也可用同样的方法求解,只不过AB的长,换成了BC;再看三角形ABC的面积,已知了AB的长,可用含BC的式子表示出ABC的面积;而三角形ACD的面积,可用正方形面积的四分之一来表示;而正方形的边长可在直角三角形ABC中,用勾股定理求出.因此可得出关于BC的方程,求解即可得出BC的值.
【解析】
(1)只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.因此AC是该损矩形的直径;
(2)作图如图:
∵点P为AC中点,
∴PA=PC=AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴BP=DP=AC,
∴PA=PB=PC=PD,
∴点A、B、C、D在以P为圆心,AC为半径的同一个圆上;
(3)∵菱形ACEF,
∴∠ADC=90°,AE=2AD,CF=2CD,
∴四边形ABCD为损矩形,
∴由(2)可知,点A、B、C、D在同一个圆上.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=45°,
∴,
∴AD=CD,
∴四边形ACEF为正方形.
∵BD平分∠ABC,BD=,
∴点D到AB、BC的距离h为4,
∴S△ABD=AB×h=2AB=6,
S△ABC=AB×BC=BC,
S△BDC=BC×h=2BC,S△ACD=S正方形ACEF=AC2=(BC2+9),
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABD+S△BCD
∴BC+(BC2+9)=6+2BC
∴BC=5或BC=-3(舍去),
∴BC=5.
(2)根据直角三角形斜边上中线的特点可知:此点应是AC的中点,那么可作AC的垂直平分线与AC的交点就是四边形外接圆的圆心.
(3)本题可用面积法来求解,具体思路是用四边形ABCD面积的不同表示方法来求解,四边形ABCD的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积=三角形ABC的面积+三角形ADC的面积;三角形ABD的面积已知了AB的长,那么可过D作AB边的高,那么这个高就应该是BD•sin45°,以此可得出三角形ABD的面积;三角形BDC的面积也可用同样的方法求解,只不过AB的长,换成了BC;再看三角形ABC的面积,已知了AB的长,可用含BC的式子表示出ABC的面积;而三角形ACD的面积,可用正方形面积的四分之一来表示;而正方形的边长可在直角三角形ABC中,用勾股定理求出.因此可得出关于BC的方程,求解即可得出BC的值.
【解析】
(1)只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.因此AC是该损矩形的直径;
(2)作图如图:
∵点P为AC中点,
∴PA=PC=AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴BP=DP=AC,
∴PA=PB=PC=PD,
∴点A、B、C、D在以P为圆心,AC为半径的同一个圆上;
(3)∵菱形ACEF,
∴∠ADC=90°,AE=2AD,CF=2CD,
∴四边形ABCD为损矩形,
∴由(2)可知,点A、B、C、D在同一个圆上.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=45°,
∴,
∴AD=CD,
∴四边形ACEF为正方形.
∵BD平分∠ABC,BD=,
∴点D到AB、BC的距离h为4,
∴S△ABD=AB×h=2AB=6,
S△ABC=AB×BC=BC,
S△BDC=BC×h=2BC,S△ACD=S正方形ACEF=AC2=(BC2+9),
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABD+S△BCD
∴BC+(BC2+9)=6+2BC
∴BC=5或BC=-3(舍去),
∴BC=5.
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