（2014•重庆模拟）某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线Γ焦点F的两条弦，且其焦点F（0，1），AC•BD＝0，点E为y轴上一点，记∠EFA=α，其中α为

Question

（2014•重庆模拟）某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线Γ焦点F的两条弦，且其焦点F（0，1），

AC

•

BD

＝0，点E为y轴上一点，记∠EFA=α，其中α为锐角．
①求抛物线Γ方程；
②如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？

Answer 1

①由抛物线Γ焦点F（0，1）得，抛物线Γ方程为x²=4y；
②设AF=m，则点A（-msinα，mcosα+1），
∴（-msinα）²=4（1+mcosα），即m²sin²α-4mcosα-4=0．

解得：m＝(4cosα±4)/(2sin2α)＝(2(cosα±1))/(sin2α)，
∵m＞0，∴|AF|＝(2(cosα+1))/(sin2α)．
同理：|BF|＝(2(1−sinα))/(cos2α)，|DF|＝(2(1+sinα))/(cos2α)，
|DF|＝(2(1+sinα))/(cos2α)，|CF|＝(2(1−cosα))/(sin2α)．
“蝴蝶形图案”的面积
S＝S△AFB+S△CFD＝(1)/(2)AF•BF+(1)/(2)CF•DF=(4−4sinαcosα)/((sinαcosα)2)．
令t＝sinαcosα，t∈(0，(1)/(2)]，∴(1)/(t)∈[2，+∞)．
则S＝4•(1−t)/(t2)＝4((1)/(t)−(1)/(2))2−1，∴(1)/(t)＝2时，即α＝(π)/(4)时“蝴蝶形图案”的面积最小为8．