用配方法证明关于x的方程（m²-12m+37）x²+3mx+1=0无论m何值都是一元二次方程.若实数a,b,c满足a²+6b=-17,b²+8c＝-23,c²+2a=14,求a+b+c的值.两题都要步骤的讲解

Question

用配方法证明关于x的方程
（m²-12m+37）x²+3mx+1=0无论m何值都是一元二次方程.
若实数a,b,c满足a²+6b=-17,b²+8c＝-23,c²+2a=14,求a+b+c的值.两题都要步骤的讲解

Answer 1

1）m²-12m+37
=m²-12m+36+1
=（m-6）²+1
∵（m-6)²≥0
∴m²-12m+37＞0
因为二次项系数不等于0,所以（m²-12m+37）x²+3mx+1=0无论m何值都是一元二次方程.
2）a²+6b=-17 ①
b²+8c＝-23 ②
c²+2a=14 ③
①+②+③得：a²+2a+b²+6b+c²+8c=-26
所以:（a²+2a+1）+（b²+6b+9）+（c²+8c+16）=-26+26=0
即：（a+1)²+（b+3）²+（c+4）²=0
∴a=-1,b=-3,c=-4
∴a+b+c=-1-3-4=-8