关于特征值的一道证明题!证明：若n阶方阵A满足A^k＝0（k是正整数）,则A的特征值必为零.

Question

关于特征值的一道证明题!
证明：若n阶方阵A满足A^k＝0（k是正整数）,则A的特征值必为零.

Answer 1

证明：
已知A是数域K上的矩阵,A^k=0,于是|A|^k=0,从而|A|=0.
因此得出|0I-A|=|-A|=(-1)^n|A|=0
因此0是A的一个特征值.
设λ是A的一个特征值.则存在α∈K(n) 且α≠0,使得Aα=λα.两边左乘A得,A^2*α=A(λα)=λ(Aα)=λ^2*α.继续这个过程,可以得到A^kα=λ^kα.由于A^k=0,因此λ^k*α=0 .由于α≠0,因此
λ^k=0.从而λ=0
得证.
这是一道关于矩阵特征值的题目.建议你可以看丘维声编著,清华大学出版社出版的《高等代数学习指导书》第324页关于“矩阵的相似与相抵”章节的指导.
既然回答了两遍,索性两个都选我吧!谢了!