2014·海淀一模（1）如图,Rt△ABC中,∠A=90度,AB=4,AC=3,矩形EFGH的顶点在三角形的三条边上,且EH=2EF,则矩形的长与宽各是多少?（2）①倘若把“矩形EFGH”改为“正方形EFGH”,其他条件不变,请你求出

Question

2014·海淀一模
（1）如图,Rt△ABC中,∠A=90度,AB=4,AC=3,矩形EFGH的顶点在三角形的三条边上,且EH=2EF,则矩形的长与宽各是多少?
（2）①倘若把“矩形EFGH”改为“正方形EFGH”,其他条件不变,请你求出正方形的边长；
②若把①中的“1个正方形”改为“2个同样的正方形并排放置”,请你求出正方形的边长；
③若改为“n个同样的正方形并排放置”,那么正方形的边长又是多少呢?

Answer 1

连接AP、BP
∵AB是直径
∴∠APB=90°,那么∠B=∠PAB=45°
∴∠BPD+∠APC=∠APB-∠CPD=90°-45°=45°
将△PBD旋转到BP和AP重合,得△APE≌△BPD,连接EC
∴∠B=∠PAE=45°,那么∠EAC=∠PAE+∠PAB=45°+45°=90°
∠APE=∠BPD
PD=PE,BD=AE
∵∠CPE=∠APE+∠APC=∠BPD+∠APC=45°
那么∠CPE=∠CPD=45°
PD=PE,PC=PC
∴△CPD ≌△CPE(SAS)
∴CD=CE
∵BD=AE=AB-AD=2-x
AC=AB-BC=2-y
∴CD=CD=AB-AC-BD=2-(2-y)-(2-x)=x+y-2
∴在RT△AEC中：CE²=AE²+AC²
即(x+y-2)²=(2-x)²+(2-y)²
整理：xy=2
即y=2/x
这样可以么?