如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AF为△ABC的角平分线，分别过点C、B作AF的垂线，垂足分别为E、D．以下结论：①CE=DE=22BD；②AF=2BD；③CE+EF=12AE；④DFAF=2−12．其中结论正确的序号是

Question

如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AF为△ABC的角平分线，分别过点C、B作AF的垂线，垂足分别为E、D．以下结论：①CE=DE=(√(2))/(2)BD；②AF=2BD；③CE+EF=(1)/(2)AE；④(DF)/(AF)=(√(2)−1)/(2)．其中结论正确的序号是______．

Answer 1

延长线段BD与AC的延长线交于点M
∵AD为∠CAB的平分线，AD⊥MB，
∴AM=AB，∠M=∠AFC=67.5°，
又∠ACF=∠BCM=90°，AC=BC，
∴△ACF≌△BCM，
∴AF=BM=2BD，故②正确；
又∵AD为∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，且∠AEC=∠ADB=90°，
∴△ACE∽△ABD，
∴(AC)/(AB)=(CE)/(BD)=(AE)/(AD)=(1)/(√(2))，
∴CE=DE=(√(2))/(2)BD，故①正确；
又∵△CEF∽△BDF，
∴(EF)/(BD)=(1)/(√(2))，设AE=x，则AD=√(2)x，
∴x+1+√(2)=√(2)x，解得x=

作业帮用户 2017-10-21

问题解析

延长线段BD与AC的延长线交于点M，然后由两个角相等得出三角形ACE与三角形ABD相似，且相似比等于1比 √(2)，得出三角形ACF与三角形CBN全等，即可得出CE与DE相等且等于 (√(2))/(2)BD，AF等于2BD，然后由三角形CEF与三角形BDF相似，且相似比也等于1比 √(2)，如果EF=1，则DF=√(2)，设AE=x，则AD=√(2)x，利用AE+EF+0D等于AD列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后表示出AF，求出AF与FD的比值即可．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：

此题考查学生灵活运用相似三角形的性质与判断解决数学问题，是一道综合题．

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