在数列{an}中，a1=-6×210，点（n，2a+1-an）在直线y=211x上，设bn=an+1-an+t，数列{bn}是等比数列．（1）求出实数t；（2）令cn=|log2bn|，问从第几项开始，数列{cn}中连续20项

Question

在数列{a _n }中，a ₁ =-6×2 ¹⁰ ，点（n，2a ₊₁ -a _n ）在直线y=2 ¹¹ x上，设b _n =a _n+1 -a _n +t，数列{b _n }是等比数列．
（1）求出实数t；（2）令c _n =|log ₂ b _n |，问从第几项开始，数列{c _n }中连续20项之和为100？

Answer 1

（1）由题设知2a _n+1 =a _n +2 ¹¹ n，从而 a n+1 =(1)/(2) ( a n + 2 11 n)
当n＞1时， (bn)/(bn-1) =(an+1 - an +t)/(an - an-1 +t) =(an - an-1 + 211 +t)/(2( an - an-1 +t)) ，
若{b _n }是等比数列，则2 ¹¹ +2t=t，
故t=-2 ¹¹ ．
（2）∵{b _n }是以 (1)/(2) 为公比的等比数列，首项为a ₂ -a ₁ +t，
∴ b n =( a 2 - a 1 - 2 11 )((1)/(2) ) n-1
∵ a 2 =(1)/(2) ( a 1 + 2 11 )=(1)/(2) (-6• 2 10 + 2 11 ) ，a ₂ -a ₁ -2 ¹¹ =2 ¹¹
∴ b n = 2 11 ((1)/(2) ) n-1 = 2 12-n
∴c _n =|n-12|，
假设{c _n }从第k项起连续20项之和为100，
当k≥12时，c _k +c _k+1 +…+c _k+19 ≥c ₁₂ +c ₁₃ +…+c ₃₁ =190≥100不合题意，
当k＜12时，c _k +c _k+1 +…+c _k+19 =12-k+11-k+…+1+0+1+…+k+7=k ² -5k+106=100
解得k=2或3，
所以数列{c _n }从第二项或长三项起连续20项之和为100．