（2013•黄州区模拟）已知实数a，b是常数，f（x）=（x+a）2-7blnx+1．（Ⅰ）若b=1时，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．；（Ⅱ）当b=47a2时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）设n

Question

（2013•黄州区模拟）已知实数a，b是常数，f（x）=（x+a）²-7blnx+1．
（Ⅰ）若b=1时，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．；
（Ⅱ）当b=(4)/(7)a²时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）设n是正整数，证明：ln（n+1）⁷＜（1+(1)/(22)+…+(1)/(n2)）+7（1+(1)/(2)+…+(1)/(n)）．

Answer 1

解（Ⅰ）∵b=1，故f（x）=（x+a）²-7lnx+1，
∴f′(x)＝2x+2a−(7)/(x)．
∵当x＞1时，f（x）是增函数，
∴f′(x)＝2x+2a−(7)/(x)≥0在x＞1时恒成立．
即a≥(7)/(2x)−x在x＞1时恒成立．
∵当x＞1时，y＝(7)/(2x)−x是减函数，
∴当x＞1时，(7)/(2x)−x＜(5)/(2)，
∴a≥(5)/(2)．
（II）∵b＝(4)/(7)a2，故f（x）=（x+a）²-4a²lnx+1，x∈（0，+∞），
∴f′(x)＝(2x2+2ax−4a2)/(x)＝(2(x−a)(x+2a))/(x)，
∴当a=0时，f（x）的增区间为（0，+∞）
当a＞0时，∴f'（x）＞0⇒x＞a或x＜-2a，
∴f（x）的减区间为（0，a），增区间为（a，+∞）
当a＜0时，∴f'（x）＞0⇒x＞-2a或x＜a，
∴f（x）的减区间为（0，-2a），增区间为（-2a，+∞）；
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知，
当a＝(5)/(2)时，
f(x)＝(x+(5)/(2))2−7lnx+1在（1，+∞）是增函数．
∴当x＞1时，f（x）＞f（1），
即(x+(5)/(2))2−7lnx+1＞(53)/(4)，
∴x²+5x-6＞7lnx
∵n∈N*，∴(n+1)/(n)＞1，
∴(1+(1)/(n))2+5(1+(1)/(n))−6＞7ln(n+1)/(n)，
即(1)/(n2)+7(1)/(n)＞7[ln(n+1)−lnn]，
∴((1)/(12)+(7)/(1))+((1)/(22)+(7)/(2))…((1)/(n2)+(7)/(n))＞
7[ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn]
=7ln（n+1），
∴ln(n+1)7＜(1+

作业帮用户 2017-10-01

问题解析

（Ⅰ）由b=1，故f（x）=（x+a）²-7lnx+1，得f′(x)＝2x+2a−(7)/(x)．从而a≥(7)/(2x)−x在x＞1时恒成立．由当x＞1时，y＝(7)/(2x)−x是减函数，从而当x＞1时，(7)/(2x)−x＜(5)/(2)，进而求出a的范围；
（II）由b＝(4)/(7)a2，故f（x）=（x+a）²-4a²lnx+1，x∈（0，+∞），求出f′(x)＝(2x2+2ax−4a2)/(x)＝(2(x−a)(x+2a))/(x)，
当a=0时，f（x）的增区间为（0，+∞）当a＞0时，f（x）的减区间为（0，a）增区间为（a，+∞）当a＜0时，f（x）的减区间为（0，-2a）增区间为（-2a，+∞）；
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知，当a＝(5)/(2)时，f(x)＝(x+(5)/(2))2−7lnx+1在（1，+∞）是增函数．
x＞1时，f（x）＞f（1），从而x²+5x-6＞7lnx，得到(n+1)/(n)＞1，通过整理变形不等式得证．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：

本题考察了利用导数求函数的单调性，求参数的取值范围，不等式的证明，是一道综合题．

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