若数列{an}前n项和Sn满足Sn-1+Sn=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{an}单调递增，则x的取值范围是．

Question

若数列{a_n}前n项和S_n满足S_n-1+S_n=2n²+1（n≥2，n∈N⁺），且满足a₁=x，{a_n}单调递增，则x的取值范围是___．

Answer 1

由条件S_n-1+S_n=2n²+1（n≥2）得S_n+S_n+1=2（n+1）²+1，
两式相减得a_n+1+a_n=4n+2，
故a_n+2+a_n+1=4n+6，两式再相减得a_n+2-a_n=4，得{a_n+2}是公差d=4的等差数列，
由n=2得a₁+a₂+a₁=9，a₂=9-2x，
从而a_2n=4n+5-2x；       
n=3得a₁+a₂+a₃+a₁+a₂=19，a₃=1+2x，从而a_2n+1=4n-3+2x，
由条件得

x<9-2x

4n+5-2x<4n-3+2x

4n-3+2x<4(n+1)+5-2x

，
解得2<x<3，
故x的取值范围为（2，3），
故答案为：（2，3）．