如图，在三棱锥A-BCD中，BC⊥BD，AD⊥AC，CD=2，∠ACD=30°，∠DCB=45°，AO⊥平面BCD，垂足O恰好在BD上．（Ⅰ）证明：BC⊥AD；（Ⅱ）求三棱锥A-BCD的体积．

Question

如图，在三棱锥A-BCD中，BC⊥BD，AD⊥AC，CD=2，∠ACD=30°，∠DCB=45°，AO⊥平面BCD，垂足O恰好在BD上．

（Ⅰ）证明：BC⊥AD；
（Ⅱ）求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由AO⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，得AO⊥BC，
又∵BC⊥BD，且AO∩BD=O，
∴BC⊥平面ABD，
又AD⊂平面ABD，
∴BC⊥AD；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，AD⊥BC，又AD⊥AC，BC∩AC=C，
∴AD⊥平面ABC，
又∵AB⊂平面ABC，
∴AD⊥AB，
由已知CD=2，得BD=DCsin45°=√(2)，
AD=DCsin30°=1，
∴AB=1，
∴△ABD为等腰直角三角形，故O为BD的中点．
∴OD=(1)/(2)BD=(√(2))/(2)，
∴VA-BCD=(1)/(3)×(1)/(2)•√(2)•√(2)•(√(2))/(2)=(√(2))/(6)．