设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续并在开区间（a，b）内可导，如果在（a，b）内f′（x）＞0，那么必有（）A．在[a，b]上f（x）＞0B．在[a，b]上f（x）单调增加C．在[a，b]上f（x）单调减

Question

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续并在开区间（a，b）内可导，如果在（a，b）内f′（x）＞0，那么必有（　　）

A．在[a，b]上f（x）＞0
B．在[a，b]上f（x）单调增加
C．在[a，b]上f（x）单调减少
D．在[a，b]上f（x）是凸的

Answer 1

因为函数f（x）在闭区间[a，b]上连续并在开区间（a，b）内可导，
故对于任意a≤x₁＜x₂≤b，利用拉格朗日中值定理可得，
f（x₁）-f（x₂）=f′（ξ）（x₁-x₂），ξ∈（x₁，x₂）．
因为在（a，b）内f′（x）＞0，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，
即：f（x₁）＞f（x₂），
从而f（x）在[a，b]上单调增加，选项B正确，选项C错误．
A、D也都是错误的．
A的反例：f（x）=x-2，0≤x≤1，f′（x）=1＞0，但是f（x）≤-1＜0．
D的反例：f（x）=x²，0≤x≤1，则在（0，1）内，f′（x）=2x＞0，但是f（x）为凹的．
综上，正确选项为B．
故选：B．