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设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续并在开区间(a,b)内可导,如果在(a,b)内f′(x)>0,那么必有()A.在[a,b]上f(x)>0B.在[a,b]上f(x)单调增加C.在[a,b]上f(x)单调减
题目详情
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续并在开区间(a,b)内可导,如果在(a,b)内f′(x)>0,那么必有( )
A.在[a,b]上f(x)>0
B.在[a,b]上f(x)单调增加
C.在[a,b]上f(x)单调减少
D.在[a,b]上f(x)是凸的
A.在[a,b]上f(x)>0
B.在[a,b]上f(x)单调增加
C.在[a,b]上f(x)单调减少
D.在[a,b]上f(x)是凸的
▼优质解答
答案和解析
因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续并在开区间(a,b)内可导,
故对于任意a≤x1<x2≤b,利用拉格朗日中值定理可得,
f(x1)-f(x2)=f′(ξ)(x1-x2),ξ∈(x1,x2).
因为在(a,b)内f′(x)>0,
故f(x1)-f(x2)>0,
即:f(x1)>f(x2),
从而f(x)在[a,b]上单调增加,选项B正确,选项C错误.
A、D也都是错误的.
A的反例:f(x)=x-2,0≤x≤1,f′(x)=1>0,但是f(x)≤-1<0.
D的反例:f(x)=x2,0≤x≤1,则在(0,1)内,f′(x)=2x>0,但是f(x)为凹的.
综上,正确选项为B.
故选:B.
故对于任意a≤x1<x2≤b,利用拉格朗日中值定理可得,
f(x1)-f(x2)=f′(ξ)(x1-x2),ξ∈(x1,x2).
因为在(a,b)内f′(x)>0,
故f(x1)-f(x2)>0,
即:f(x1)>f(x2),
从而f(x)在[a,b]上单调增加,选项B正确,选项C错误.
A、D也都是错误的.
A的反例:f(x)=x-2,0≤x≤1,f′(x)=1>0,但是f(x)≤-1<0.
D的反例:f(x)=x2,0≤x≤1,则在(0,1)内,f′(x)=2x>0,但是f(x)为凹的.
综上,正确选项为B.
故选:B.
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