在四面体ABCD中,BD=/2a,AB=AD=CB=CD=AC=a,如图所示,求平面ABD平面BCD所成的二面角的平面角的大小

Question

在四面体ABCD中,BD=/2a,AB=AD=CB=CD=AC=a,如图所示,求平面ABD平面BCD所成的二面角的平面角的大小

Answer 1

取BD的中点E,连接AE、CE.
已知,BD = √2a ,AB = AD = a ,
可得：△ABD是等腰直角三角形,AE是斜边上的中线,
则有：AE⊥BD ,AE = (1/2)BD = (√2/2)a .
已知,BD = √2a ,CB = CD = a ,
可得：△CBD是等腰直角三角形,CE是斜边上的中线,
则有：CE = (1/2)BD = (√2/2)a .
已知,AC = a ,AE = CE = (√2/2)a ,
可得：△ACE是等腰直角三角形,
则有：AE⊥CE .
因为,AE⊥BD ,AE⊥CE ,BD和AE都在平面BCD内,
所以,AE⊥平面BCD ,而且,AE在平面ABD内,
可得：平面ABD⊥平面BCD .