设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,向量BC的平方=16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|=?|AB+AC|=|AB-AC|,知AB垂直AC,为什么

Question

设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,向量BC的平方=16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|=?
|AB+AC|=|AB-AC|,知AB垂直AC,为什么

Answer 1

设向量AB、AC间夹角为θ,
|AB+AC|=|AB-AC|,|AB+AC|^2=|AB-AC|^2,
|AB|^2+|AC|^2-2*|AB|*|AC|*cos(π-θ)=|AB|^2+|AC|^2-2*|AB|*|AC|*cosθ,
2*|AB|*|AC|*cos(π-θ)=2*|AB|*|AC|*cosθ,
cos(π-θ)=cosθ,
-cosθ=cosθ,
cosθ=0,
θ=π/2,即AB垂直AC
|AM|=1/2*|BC|=2