已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[12，22]，则a的最大值为6262．

Question

已知直线y=-x+1与椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1 (a＞b＞0)相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[(1)/(2)，(√(2))/(2)]，则a的最大值为

(√(6))/(2)

(√(6))/(2)

．

Answer 1

设A（x₁，y₁，）、B（x₂，y₂），
由

y＝−x+1

(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1

消去y，可得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
∴则x₁+x₂=(2a2)/(a2+b2)，x₁x₂=(a2(1−b2))/(a2+b2)，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1．
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1．
∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），可得

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（-x₁+1）（-x₂+1）=0，化简得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0．
∴2•(a2(1−b2))/(a2+b2)-(2a2)/(a2+b2)+1=0．整理得a²+b²-2a²b²=0．
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，∴代入上式，化简得2a²=1+

作业帮用户 2017-11-01

问题解析

设A（x₁，y₁，）、B（x₂，y₂），将直线y=-x+1与椭圆方程联解，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理与直线方程求出用a、b表示x₁x₂+y₁y₂的式子，由OA⊥OB得

OA

•

OB

=0，从而建立关于a²、b²的等式，将a²化成关于椭圆的离心率e的代数式，根据题中离心率的范围算出a²的范围，即可算出实数a的最大值．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．

考点点评：

本题给出椭圆满足的条件，求长半轴a的最大值．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．

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