如图，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC且EA=AB=2a，DC=a，F，G，H分别是EB，AB和BC的中点．求证：（1）FG∥平面AEDC；（2）平面AEDC∥平面FGH（3）FD∥平面ABC．

Question

如图，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC且EA=AB=2a，DC=a，F，G，H分别是EB，AB和BC的中点．求证：

（1）FG∥平面AEDC；
（2）平面AEDC∥平面FGH
（3）FD∥平面ABC．

Answer 1

证明：（1）∵F，G分别是EB，AB的中点，∴FG为△EAB的中位线，∴FG∥AE；
又AE⊂平面AEDC，FG⊄平面AEDC，
∴FG∥平面AEDC；
（2）∵G，H分别是AB和BC的中点，∴HG为△CAB的中位线，∴HG∥AC；
又AC⊂平面AEDC，HG⊄平面AEDC，∴GH∥平面AEDC；
由（1）得FG∥平面AEDC，且FG∩GH=G，FG⊂平面FGH，GH⊂平面FGH；
∴平面AEDC∥平面FGH；
（3）∵FG为△EAB的中位线，∴FG＝(1)/(2)AE＝a，且FG∥EA；
∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，∴EA∥DC；
∴FG∥DC，又FG=DC=a，
∴四边形FGCD是平行四边形，
∴FD∥GC，又FD⊄平面ABC，GC⊂平面ABC，
∴FD∥平面ABC．