如图，在四面体ABCD中，平面EFGH分别平行于棱CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．（1）求证：四边形EFGH是矩形．（2）设DEDB＝λ(0＜λ＜1)，问λ为何值时，四边形EFGH

Question

如图，在四面体ABCD中，平面EFGH分别平行于棱CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求证：四边形EFGH是矩形．
（2）设(DE)/(DB)＝λ(0＜λ＜1)，问λ为何值时，四边形EFGH的面积最大？

Answer 1

（1）证明：∵CD∥面EFGH，CD⊂平面BCD，
而平面EFGH∩平面BCD=EF．∴CD∥EF同理HG∥CD．∴EF∥HG
同理HE∥GF．∴四边形EFGH为平行四边形…（3分）
由CD∥EF，HE∥AB∴∠HEF（或其补角）为CD和AB所成的角，
又∵CD⊥AB．∴HE⊥EF．∴四边形EFGH为矩形．…..（6分）
（2）由（1）可知在△ABD中EH∥AB，∴(DE)/(DB)＝(EH)/(AB)＝λ，所以EH=λb，
在△BCD中EF∥CD，∴(BE)/(BD)＝(EF)/(CD)＝1−λ，所以EF=a（1-λ）  …（8分）
又EFGH是矩形，故四边形EFGH的面积S=a（1-λ）•λb≤ab((λ+1−λ)/(2))2＝(1)/(4)ab，当且仅当λ=1-λ，
即λ＝(1)/(2)时等号成立，即E为BD的中点时，矩形EFGH的面积最大为(1)/(4)ab…．（12分）