求证n的阶乘大于a的n次方（n趋于正无穷）

Question

求证n的阶乘 大于a的n次方 （n趋于正无穷）

Answer 1

采用比商发,只是要在平常的比商发上多加一个对数,这样就将乘法变成了加法
ln(n!/a^n)=ln(1/a)+ln(2/a)+...+ln(n/a)
=ln(1/a)+ln(2/a)+..+ln([a]/a)+ln(([a]+1)/a)+...+ln(n/a)
=s0+ln(([a]+1)/a)+..+ln(n/a)
=s0+s(n)
上式中[a]表示a的整数部分,s0=ln(1/a)+ln(2/a)+..+ln([a]/a),实际上就是所有的负数项的和,从ln(([a]+1)/a)开始就都是正数了,当n->∞时,s(n)->∞,因为仅其中一项ln(n/a)就趋向无穷大.而s0只是一个有限的负数,因此s0+s(n)->∞
从而ln(n!/a^n)>0,即n!>a^n