函数f（x）=(e1x+e)tanxx(e1x−e)在区间[-π，π]上的第一类间断点是x=（）A．0B．1C．-π2D．π2

Question

函数f（x）=((e(1)/(x)+e)tanx)/(x(e(1)/(x)−e))在区间[-π，π]上的第一类间断点是x=（　　）

A．0
B．1
C．-(π)/(2)
D．(π)/(2)

Answer 1

对于选项A：在x=0处，

lim

x→0+

((e(1)/(x)+e)tanx)/(x(e(1)/(x)−e))=

lim

x→0+

(tanx)/(x)(e(1)/(x)+e)/(e(1)/(x)−e)=1，

lim

x→0−

((e(1)/(x)+e)tanx)/(x(e(1)/(x)−e))=

lim

x→0−

(tanx)/(x)(e(1)/(x)+e)/(e(1)/(x)−e)=

lim

x→0−

(tanx)/(x)(e(1)/(x)+e)/(e(1)/(x)−e)=-1，
故

lim

x→0+

f(x)≠

lim

x→0−

f(x)，
从而x=0为f（x）的第一型间断点，
选项A正确．
对于选项B：在x=1处，

lim

x→1

((e(1)/(x)+e)tanx)/(x(e(1)/(x)−e))=

lim

x→1

(tanx)/(x)(e(1)/(x)+e)/(e(1)/(x)−e)=∞，
故x=1为f（x）的第二型间断点．
选项B错误．
对于选项C：在x=−(π)/(2)处，

lim

x→−(π)/(2)

((e(1)/(x)+e)tanx)/(x(e(1)/(x)−e))=

lim

x→−(π)/(2)

(e(1)/(x)+e)/(x(e(1)/(x)−e))tanx=∞，
故x=−(π)/(2)为f（x）的第二型间断点．
选项C错误．
对于选项D：在x=(π)/(2)处，

lim

x→(π)/(2)

((e(1)/(x)+e)tanx)/(x(e(1)/(x)−e))=

lim

x→(π)/(2)

(e(1)/(x)+e)/(x(e(1)/(x)−e))tanx=∞，
故x=−(π)/(2)为f（x）的第二型间断点．
选项D错误．
综上，故选：A．