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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=2,E、F分别为PC、BD的中点.(I)求证:EF∥平面PAD;(Ⅱ)若G为线段AB的中点,求二面角C-PD-G的余弦值.

题目详情
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=
2
,E、F分别为PC、BD的中点.
(I)求证:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)若G为线段AB的中点,求二面角C-PD-G的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(I)证明:连接AC,则F是AC的中点,
在△CPA中,∵E为PC的中点,
∴EF∥PA,
∵PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,
∴EF∥平面PAD;
(Ⅱ)取AD的中点O,连结OP,OF.
∵PA=PD,∴PO⊥AD.
∵侧面PAD⊥底面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,
∴PO⊥面ABCD,
而O,F分别为AD,BD的中点,∴OF∥AB,
又ABCD是正方形,故OF⊥AD.
∵PA=PD=
2
,AD=2,∴PA⊥PD,OP=OA=1
以O为原点,直线OA,OF,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则有A(1,0,0),G(1,1,0),D(-1,0,0),P(0,0,1),
∵侧面PAD⊥底面ABCD,AD⊥DC,
∴CD⊥平面PAD,
∴CD⊥PA
∵PD∩DC=D,且CD、PD⊂面PDC
∴PA⊥平面PCD
∴平面PDC的一个法向量为
PA
=(1,0,-1)
设平面PGD的一个法向量为
n
=(x,y,z)
DP
=(1,0,1),
GD
=(−2,−1,0)
∴由
n
作业帮用户 2017-10-03
问题解析
(I)连接AC,利用三角形中位线的性质,证明EF∥PA,利用线面平行的判定,可得EF∥平面PAD;
(Ⅱ)取AD的中点O,连结OP,OF,以O为原点,直线OA,OF,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出平面PDC的一个法向量、平面PGD的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可得到结论.
名师点评
本题考点:
用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定.
考点点评:
本题考查直线与平面平行的判定,考查二面角的平面角及求法,考查逻辑推理能力,属于中档题.
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