求解傅里叶问题f(x)=|cosx|画图可得到如下式子：f(x)={cosx(-π/2＜x＜π/2）{-cosx（-π补充下x的取值范围为（-π，π）

Question

求解傅里叶问题 f(x)=|cosx|
画图可得到如下式子： f(x)={cosx(-π/2＜x＜π/2）
{-cosx（-π
补充下 x的取值范围为（-π，π）

Answer 1

大哥
积分呗
f=a0+sum ak cos(kx) +sum bk sin(kx)
bk=2/(2pi)*积分 sin(kx)*f(x)dx=0
a0=2/(2pi)*积分 cos(0*x)*f(x)dx
=1/(2pi)*积分1*|cosx|dx
对称性
=1/pi 积分cosx dx=2/pi
ak=2/(2pi)*积分 cos(kx)*f(x)dx
=1/(pi)*积分 cos(kx)*|cosx|dx
=(1/pi)积分+ cos(kx)(-cosx)dx
+(1/pi)积分 cos(kx)(cosx)dx
积化和差
=-(1/2pi)[积分+ cos((k+1)x)+cos((k-1)x)dx]
+(1/2pi)积分 cos((k+1)x)+cos((k-1)x)dx
需要讨论
1)k=1
a1=-(1/2pi) [sin(2x)/2+x]|+
+(1/2pi)[sin(2x)/2+x]|
=-(1/2pi)(pi)+(1/2pi)(pi)=0
2)k>=2
ak=-(1/2pi) [sin((k+1)x)/(k+1)+sin((k-1)x)/(k-1)]|+
+(1/2pi)[sin((k+1)x)/(k+1)+sin((k-1)x)/(k-1)]|
=-(1/pi) [-sin((k+1)pi/2)/(k+1)-sin((k-1)pi/2)/(k-1)]
+(1/pi)[sin((k+1)pi/2)/(k+1)+sin((k-1)pi/2)/(k-1)]
=(2/pi)[sin((k+1)pi/2)/(k+1)+sin((k-1)pi/2)/(k-1)]
发现当k是奇数时,ak=0
偶数则不然