如图，已知△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，把线段AB沿射线BC方向平移至PQ，直线PQ与直线AC交于点E，又连接BQ与直线AC交于点D．（1）若BP=3，求AD的长；（2）设BP=x，DE=y，试求y关于x的函数解析式；（

Question

如图，已知△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，把线段AB沿射线BC方向平移至PQ，直线PQ与直线AC交于点E，又连接BQ与直线AC交于点D．
（1）若BP=3，求AD的长；
（2）设BP=x，DE=y，试求y关于x的函数解析式；
（3）当BP为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer 1

（1）连接AQ
∵AB∥PQ  AB=PQ
∴四边形ABPQ是平行四边形，
∴AQ∥BP  AQ=BP
∴△ADQ∽△CDB，
∵BP=3
∴AQ=3
∵(AQ)/(BC)＝(AD)/(DC)，
∴(3)/(5)＝(AD)/(6−AD)，
∴AD＝(9)/(4)；

（2）∵AB∥PQ，AQ∥BC，
∴(CE)/(CA)＝(CP)/(CB)，(AD)/(DC)＝(AQ)/(BC)
∵AB=4，BC=5，AC=6，BP=x，DE=y，
当点P在边BC上时，
∴(CE)/(6)＝(5−x)/(5)，解得CE＝6−(6x)/(5)…（1分）
(AD)/(6−AD)＝(x)/(5)，解得AD＝(6x)/(x+5)…（1分）
∴y＝DE＝6−AD−CE＝(6x2)/(5x+25)…（1分）
当点P在边BC的延长线上时，
∴(CE)/(6)＝(x−5)/(5)，解得CE＝(6x)/(5)−6…（1分）
(AD)/(6−AD)＝(x)/(5)，解得AD＝(6x)/(x+5)…（1分）
∴y＝DE＝6−AD+CE＝(6x2)/(5x+25)
综上所述，y＝(6x2)/(5x+25)（x＞0）…（1分）

（3）∵AB∥PQ，∴△EDQ∽△ADB  …（1分）
又以Q、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
∴△ADB与△ABC相似  …（1分）
∵∠BAC公共，又∠ABD≠∠ABC
∴∠ABD=∠ACB     …（1分）
∴(AD)/(AB)＝(AB)/(AC)即AD＝(8)/(3)
由（2）知，AD＝(6x)/(x+5)
∴(6x)/(x+5)＝

作业帮用户 2017-11-11

问题解析

（1）连接AQ，由平行四边形的判定定理可得出四边形ABPQ是平行四边形，进而可得出△ADQ∽△CDB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由平行线分线段成比例定理可知

(CE)/(CA)＝(CP)/(CB)，(AD)/(DC)＝(AQ)/(BC)，再根据点P在边BC上或点P在边BC的延长线上两种情况讨论即可；
（3）先由相似三角形的判定定理得出△EDQ∽△ADB，△ADB∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可求出BP的长．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质；平移的性质；平行线分线段成比例．

考点点评：

本题考查的是相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理及平行线分线段成比例定理，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解．

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