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已知下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0；②|a+b|=|a|+

题目详情
已知下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有
AB
+
BC
+
CD
+
DA
=
0
；
②|
a
+
b
|=
|a|
+
|b|
是
a
、
b
共线的充要条件；
③若
a
，
数学
作业帮用户2017-10-06

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优质解答
①根据向量的加法法则可知
AB
+
BC
+
CD
+
DA
=
0
，∴①正确；
②若|
a
+
b
|=
|a|
+
|b|
，则|
a
+
b
| 2 =（
|a|
+
|b|
） 2 ，即 2
a
•
b
=2|
a
||
b
| ，即
a
、
b
共线，
若
a
、
b
共线，且
b
=-
a
时，|
a
+
b
|=
|a|
+
|b|
，不成立，∴②错误．
③∵
a
-
b
=（
a
-
c
）+（
c
-
b
），∴根据向量三角形法则可知
a
-
b
|≤|
a
-
c
|+|
c
-
b
|成立，∴③正确；
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若
0P
=x
OA
+y
OB
+z
OC
（其中x、y、z∈R），只有当x+y+z=1时，P、A、B、C四点才共面，∴④错误．
故答案是：②④．
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▼优质解答
答案和解析
①根据向量的加法法则可知
AB
+
BC
+
CD
+
DA
=
0
，∴①正确；
②若|
a
+
b
|=
|a|
+
|b|
，则|
a
+
b
| 2 =（
|a|
+
|b|
） 2 ，即 2
a
•
b
=2|
a
||
b
| ，即
a
、
b
共线，
若
a
、
b
共线，且
b
=-
a
时，|
a
+
b
|=
|a|
+
|b|
，不成立，∴②错误．
③∵
a
-
b
=（
a
-
c
）+（
c
-
b
），∴根据向量三角形法则可知
a
-
b
|≤|
a
-
c
|+|
c
-
b
|成立，∴③正确；
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若
0P
=x
OA
+y
OB
+z
OC
（其中x、y、z∈R），只有当x+y+z=1时，P、A、B、C四点才共面，∴④错误．
故答案是：②④．
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