早教吧作业答案频道 -->数学-->
证明:若m和n互素,则2^m-1和2^n-1也互素
题目详情
证明:若m和n互素,则2^m-1和2^n-1也互素
▼优质解答
答案和解析
首先你得知道,若a,b是正整数,那么存在正整数c,d,使得(a,b)=ac-bd.其中(a,b)表示a b的最大公约数
利用这个结论,那么存在正整数c,d,使得(2m,n)=2m*c-n*d
现在假设题目不成立,即存在质数p使得p|(2^m+1)和(2^n-1).显然p是奇数
那么p|(2^(2mc)-1)和(2^(nd)-1).所以p|这俩的差=2^(nd)(2^(2mc-nd)-1)
于是p|(2^(2mc-nd)-1).即p|2^((2m,n)-1)
但由n是奇数知(2m,n)=(m,n).所以上式就是p|2^((m,n)-1)
又(m,n)|m.所以p|(2^m-1).这与p|(2^m+1)矛盾!
利用这个结论,那么存在正整数c,d,使得(2m,n)=2m*c-n*d
现在假设题目不成立,即存在质数p使得p|(2^m+1)和(2^n-1).显然p是奇数
那么p|(2^(2mc)-1)和(2^(nd)-1).所以p|这俩的差=2^(nd)(2^(2mc-nd)-1)
于是p|(2^(2mc-nd)-1).即p|2^((2m,n)-1)
但由n是奇数知(2m,n)=(m,n).所以上式就是p|2^((m,n)-1)
又(m,n)|m.所以p|(2^m-1).这与p|(2^m+1)矛盾!
看了 证明:若m和n互素,则2^m...的网友还看了以下：
一道有些混淆的高考数学逻辑题若X≠1,则X²-3X+2=0的否命题若X≠1,则X²-3X+2=0的 2020-06-06 …
有下列四个命题①“若xy=1,则lgx+lgy=0”②“若sinα+cosα=л/3,则α是第一条 2020-07-09 …
不等式的证明设m,n为正整数,f(n)=1+1/2+1/3+.+1/n,证明(1)若n>m,则f( 2020-07-16 …
已知x-1/x=5,求x^2/(x^4+x^2+1)的值若ab=1则1/（1+a^2)+1/(1+ 2020-07-20 …
设非空集合S=={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时,有x^2∈S.给出如下三个命题：①若m=1,则 2020-08-01 …
设非空集合S={x丨m≤x≤l}满足：当x∈S时,有x²∈S,给出如下三个命题：①若m=1,则S= 2020-08-01 …
填空：1.若(x+1)²+|y-1|=0,则x的2012次方+y的2013次方=2.如果(-a)²= 2020-10-31 …
1.若|x-y-1|+3（2x-y+1)^2=0,则x^3y^2=?(请写出过程）2.若b=-1,则 2020-11-01 …
设非空集合S=﹛x︱m≤x≤l﹜满足：当x∈S时,有x的平方∈S,则正确的是1·若m=1,则S={1 2020-12-07 …
生产函数,Q=ALαKβ,明：若a+β>1,则生产函数为规模报酬递增；若a+β=1,则生产函数为规模 2020-12-18 …