D为三角形ABC边BC上一点且BD=2DC求证|AB|平方+2|AC|平方=3|AD|平方+6|CD|平方没学余弦定理

Question

D为三角形ABC边BC上一点 且BD=2DC 求证 |AB|平方+2|AC|平方=3|AD|平方+6|CD|平方
没学余弦定理

Answer 1

没学过余弦定理可如此：
在三角形ABC中,从顶点A向底边BC作垂线,与BC相交于E点,那么
AE就是三角形ABC、三角形ADC的一条高.
同时,由于已知 BD=2DC 可得：BC=3DC,那么
在三角形ABE中,|AE|^=|AB|^-|BE|^
在三角形AEC中,|AE|^=|AC|^-|EC|^
=|AC|^-|BC-BE|^
=|AC|^-|3DC-BE|^
=|AC|^-9|DC|^+6|DC|x|BE|-|BE|^
在三角形AED中,|AE|^=|AD|^-|ED|^
=|AD|^-|BD-BE|^
=|AD|^-|2DC-BE|^
=|AD|^-4|DC|^+4|DC|x|BE|-|BE|^
从上述可得如下等量关系：
① |AB|^-|BE|^=|AC|^-9|DC|^+6|DC|x|BE|-|BE|^
② |AB|^-|BE|^=|AD|^-4|DC|^+4|DC|x|BE|-|BE|^
简化后可得：① |AB|^=|AC|^-9|DC|^+6|DC|x|BE|
② |AB|^=|AD|^-4|DC|^+4|DC|x|BE|
上述②x3-①x2并移项可得：
|AB|^+2|AC|^=3|AD|^+6|DC|^
证明结束.