（2013•淄博二模）等比数列{cn}满足cn+1+cn=10•4n-1（n∈N*），数列{an}的前n项和为Sn，且an=log2cn．（Ⅰ）求an，Sn；（Ⅱ）数列{bn}满足bn＝14Sn−1，Tn为数列{bn}的前n项和，是否存在正整数m，k（1

Question

（2013•淄博二模）等比数列{c_n}满足c_n+1+c_n=10•4^n-1（n∈N^*），数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=log₂c_n．
（Ⅰ）求a_n，S_n；
（Ⅱ）数列{bn}满足bn＝(1)/(4Sn−1)，Tn为数列{bn}的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T₁，T_m，T_k成等比数列？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由已知令n=1，n=2可得，c₁+c₂=10，c₂+c₃=40，所以公比q=4…（2分）
∴c₁+c₂=c₁+4c₁=10得c₁=2
∴cn＝2•4n−1＝22n−1…（4分）
所以an＝log222n−1＝2n−1…（5分）
由等差数列的求和公式可得，Sn＝(n(a1+an))/(2)＝(n[1+(2n−1)])/(2)＝n2…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn＝(1)/(4n2−1)＝(1)/(2)((1)/(2n−1)−(1)/(2n+1))
于是Tn＝(1)/(2)[(1−(1)/(3))+((1)/(3)−(1)/(5))+…+((1)/(2n−1)−(1)/(2n+1))]＝(n)/(2n+1)…（9分）
假设存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T₁，T_m，T_k成等比数列，则((m)/(2m+1))2＝(1)/(3)×(k)/(2k+1)，
可得(3)/(k)＝(−2m2+4m+1)/(m2)＞0，所以-2m²+4m+1＞0
从而有，1−(√(6))/(2)＜m＜1+(√(6))/(2)，
由m∈N^*，m＞1，得m=2…（11分）
此时k=12．
当且仅当m=2，k=12时，T₁，T_m，T_k成等比数列．…（12分）