（2012•金衢十一校一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，4），B（4，0），C（-1，0）三点．过点A作垂直于y轴的直线l．在抛物线上有一动点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连

Question

（2012•金衢十一校一模）如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过 A（0，4），B（4，0），C（-1，0）三点．过点A作垂直于y轴的直线l．在抛物线上有一动点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）是否存在点P，使得以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P位于抛物线y=ax²+bx+c的对称轴的右侧．若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式．

Answer 1

（1）将A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分别代入抛物线y=ax²+bx+c得，

c＝4

16a+4b+c＝0

a−b+c＝0

，
解得

a＝−1

b＝3

c＝4

，函数解析式为y=-x²+3x+4．
（2）P在l下方时，令①△AOC∽△AQP，
(AO)/(AQ)=(CO)/(PQ)，
即(4)/(x)＝(1)/(4−y)，
由于y=-x²+3x+4，
则有(4)/(x)=(1)/(4−(−x2+3x+4))，
解得x=0（舍去）或x=(13)/(4)，此时，y=(51)/(16)，P点坐标为（(13)/(4)，(51)/(16)）．
②△AOC∽△PQA，
(AQ)/(CO)＝(PQ)/(AO)，
即(x)/(1)＝(4−y)/(4)，
由于y=-x²+3x+4，
则有(x)/(1)＝

作业帮用户 2017-10-25 举报

问题解析

（1）将A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分别代入抛物线y=ax²+bx+c，列出方程组，即可求出函数解析式．
（2）当P在l下方时，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；当P在l上方时，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；
（3）画出函数图形，利用三角形相似，求出P点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了二次函数解析式的求法、二次函数解析式、相似三角形的性质、翻折变换、待定系数法求一次函数解析式等，题目错综复杂，涉及知识面广，旨在考查逻辑思维能力．

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