如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BD交AB于E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连结EF，若BC=9，CA=12，求EFAC的值；（3）若F是弧BD的中点，过F作FG⊥BE

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BD交AB于E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连结EF，若BC=9，CA=12，求(EF)/(AC)的值；
（3）若F是弧BD的中点，过F作FG⊥BE于G．求证：GF=(1)/(2)BD．

Answer 1

（1）∵DE⊥BD交AB于E，⊙O是△BDE的外接圆，
∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，
连结OD，
∵∠C=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠ODB+∠BDC=90°，
∴∠ODC=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，AB²=BC²+CA²=9²+12²=225，
∴AB=15，
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90°，
∴△ADO∽△ACB，
∴(AO)/(AB)=(OD)/(BC)，
∴(15−r)/(15)=(r)/(9)，
∴r=(45)/(8)，
即BE=(45)/(4)，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BFE=90°，
∴△BEF∽△BAC，
∴(EF)/(AC)=(BE)/(BA)=((45)/(4))/(15)=(3)/(4)，；
（3）连结OF，交BD于H，
∵F是弧BD的中点，OF是⊙O的半径，
∴BH=(1)/(2)BD，∠BHO=90°，
∵FG⊥BE，
∴∠FGO=∠BHO=90°，
又∵OF=BO，∠FOG=∠BOH，
在△FOG和△BOH中，

∠FGO＝∠BHO

∠FOG＝∠BOH

OF＝BO

，
∴△FOG≌△BOH（AAS），
∴GF=BH=(1)/(2)BD．