设f(x)=log(1+2^x+a4^x),如果当xf(x)=lg(1+2^x+a4^x)

Question

设f(x)=log(1+2^x+a4^x),如果当x
f(x)=lg(1+2^x+a4^x)

Answer 1

f(x)=lg(1+2^x+a4^x)在x≤-1时有意义
则1+2^x+a4^x＞0
a(2^x)^2+2^x+1＞0
令t=2^x,
当x≤-1时
0＜t≤1/2
所以a(2^x)^2++2^x+1＞0可化为
at^2+t+1＞0,（0＜t≤1/2）
令g（x）=at^2+t+1＞0,（0＜t≤1/2）
当a＞0,g（x）=at^2+t+1＞0,（0＜t≤1/2）恒成立
当a=0,g（x）=t+1＞0,（0＜t≤1/2）恒成立
当a＜0,要使g（x）=at^2+t+1＞0,（0＜t≤1/2）成立
需满足g（0）=1＞0且g（1/2）=a（1/2）^2+1/2+1＞0,即a＞-6
综上所述f(x)=lg(1+2^x+a4^x)在x≤-1时有意义,实数a应满足a＞-6