空间向量4点共面的推导的小问题对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,若：OP=xOA+yOB+zOC（其中x＋y＋z=1）,则四点P、A、B、C共面．我的问题是,为什么X+y+Z=1?

Question

空间向量4点共面的推导的小问题
对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1）,则四点P、A、B、C共面．
我的问题是,为什么 X+y+Z=1?

Answer 1

以下是等价推导可正可逆
P、A、B、C共面等价于AP可以用不共线向量AB、AC为基底唯一表示
即AP=mAB+nAC
OP-OA=m(OB-OA)+n(OC-OB)=mOB-mOA+nOC-nOB
即OP=(1-m)OA+(m-n)OB+nOC
又基底的分解形式唯一
则x=1-m,y=m-n,z=n
所以x+y+z=1