函数f(x)=﹙x﹣a1﹚²﹢﹙x﹣a2﹚²﹢…﹢﹙x﹣an﹚²取得最小值,当x等于何值时我究竟该怎么办呢

Question

函数f(x)=﹙x﹣a1﹚²﹢﹙x﹣a2﹚²﹢…﹢﹙x﹣an﹚²取得最小值,当x等于何值时
我究竟该怎么办呢

Answer 1

解析：应该这样理
1、这个可以看作是统计中：有一组数 a1 a2 a3 a4 .an,其平均数是x
其方差公式为：S²=[(x﹣a1)²﹢(x﹣a2)²﹢…﹢(x﹣an)²]/n
函数f(x)=(x﹣a1)²﹢(x﹣a2)²﹢…﹢(x﹣an)²刚好是方差中的分子部分.
2、方差的大小体现了一组数据相对于平均数的波动大小,波动越大,方差越大；方差中的分子就越大.即：f(x)越大.
3、对于一组数据来说需然其方差是固定的,也就是一组数相对于平均数其波动大小是固定的,但是这组数相对于另一个任何数来说其波动大小肯定会更大(这点在统计中通过描点就可以看出来).所以说一组数相对于平均数波动会更小,方差就更小；f(x)的值也就更小
结论：对于函数f(x)=(x﹣a1)²﹢(x﹣a2)²﹢…﹢(x﹣an)²来说,当x为a1 a2 a3.an的平均数时f(x)的值最小
即：x=(a1+a2+a3+.+an)/n
也可以应用二次函数理
f(x)=(x﹣a1)²﹢(x﹣a2)²﹢…﹢(x﹣an)²
=nx²-2(a1+a2+...+an)x+a1²+a2²+...an²
这是个开口向上的抛物线,对称轴为：X=-b/2a=(a1+a2+...+an)/n
∴x=(a1+a2+...+an)/n 时,函数f(x)取最小值