设椭圆E=x2/a2y2/b2=1.过M(2.根号2).N(根号6.1).O为坐标原点

Question

设椭圆E=x2/a2 y2/b2=1.过M(2.根号2).N(根号6.1).O为坐标原点

Answer 1

1.将M和N坐标代入方程
4/a²+2/b²=1(1)
6/a²+1/b²=1(2)
(1)-(2)×2
4/a²-12/a²=-1
8/a²=1
a²=8
b²=4
椭圆方程：x²/8+y²/4=1
2.设y=kx+m,
y=kx+m,x2/8+y2/4=1
∴（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0
当△=8（8k2-m2+4）＞0
x1+x2=-4km/1+2k2
x1x2=2m2-8/1+2k2
y1y2=m2-8k2/1+2k2,
OA⊥OB
∴x1x2+y1y2=0
∴3m2-8k2-8=0
∴ k2=3m2-8/8≥0
又 8k2-m2+4＞0
∴ m2＞2,3m2≥8
∴ m≥2√6/3或m≤-2√6/3
又y=kx+m与圆心在原点的圆相切
∴ r=|m|/√1+k2, r=2√6/3
∴ x2+y2=8/3
K不存在时,切线为 x=±2√6/3,交点（ 2√6/3, ±2√6/3）或（ -2√6/3, ±2√6/3）,
∵ |AB|=1+k2|x1-x2|
k≠0时, |AB|=√32/3(1+1/4k4+1k2+4)
∴ 4√6/3＜|AB|≤2√3（当 k=±√2/2时取等）
k=0时, |AB|=4√3/6
k不存时, |AB|=4√3/6
∴ |AB|∈[4√3/6,2√3]