如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6．（1）求证：平面ABD⊥平面ACD；（2）求二面角A-CD-B

Question

如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6．
（1）求证：平面ABD⊥平面ACD；
（2）求二面角A-CD-B的平面角的正切值；
（3）求异面直线AD与BC间的距离．

Answer 1

证明：（1）∵平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC
∴BD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB=B，
∴AC⊥平面ABD又AC⊂平面ACD，
∴平面ABD⊥平面ACD．
（2）设BC中点为E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF，由三垂线定理：∠EFA为二面角的平面角
∵△EFC ∽ △DBC，∴ (EF)/(BD) =(CF)/(CD) ，
∴ EF=(3)/(2) ，又AE=3 ，
∴ tan∠EFA=(AE)/(EF) =2
∴二面角的平面角的正切值为2
（3）过点D作DG ∥ BC，且CB=DG，连AG，设平面ADG为平面α
∵BC ∥ 平面ADG，∴B到平面ADG的距离等于C到平面ADG的距离为h
∵V _C-AGD =V _A-CBD
∴ (1)/(3) S △AGD h=(1)/(3) S △BCD AE
∴ h=(67)/(7)