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(2013•蕲春县模拟)如图,点O为正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使FC=EC,连接DF交BE的延长线于点H,连接OH交DC于点G,连接HC.则以下四个结论中正确结论的个数为(
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/55e736d12f2eb9384828e244d6628535e5dd6f3b.jpg)
①OH=
1 |
2 |
1 |
4 |
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
▼优质解答
答案和解析
作EJ⊥BD于J,连接EF
①∵BE平分∠DBC
∴EC=EJ,
∴△DJE≌△ECF
∴DE=FE
∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°
∴∠HFE=
=22.5°
∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°
∵DH=HF,OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF
∴OH=
BF
②∵四边形ABCD是正方形,BE是∠DBC的平分线,
∴BC=CD,∠BCD=∠DCF,∠EBC=22.5°,
∵CE=CF,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF,
∴∠EBC=∠CDF=22.5°,
∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°,
∵OH是△DBF的中位线,CD⊥AF,
∴OH是CD的垂直平分线,
∴DH=CH,
∴∠CDF=∠DCH=22.5°,
∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°,
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°,故②正确;
③∵OH是△BFD的中位线,
∴DG=CG=
BC,GH=
CF,
∵CE=CF,
∴GH=
CF=
CE
∵CE<CG=
BC,
∴GH<
BC,故此结论不成立;
④∵∠DBE=45°,BE是∠DBF的平分线,
∴∠DBH=22.5°,
由②知∠HBC=∠CDF=22.5°,
∴∠DBH=∠CDF,
∵∠BHD=∠BHD,
∴△DHE∽△BHD,
∴
=
∴DH=HE•HB,故④成立;
所以①②④正确.
故选C.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/37d12f2eb9389b509bba78e48635e5dde7116e3b.jpg)
①∵BE平分∠DBC
∴EC=EJ,
∴△DJE≌△ECF
∴DE=FE
∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°
∴∠HFE=
45° |
2 |
∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°
∵DH=HF,OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF
∴OH=
1 |
2 |
②∵四边形ABCD是正方形,BE是∠DBC的平分线,
∴BC=CD,∠BCD=∠DCF,∠EBC=22.5°,
∵CE=CF,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF,
∴∠EBC=∠CDF=22.5°,
∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°,
∵OH是△DBF的中位线,CD⊥AF,
∴OH是CD的垂直平分线,
∴DH=CH,
∴∠CDF=∠DCH=22.5°,
∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°,
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°,故②正确;
③∵OH是△BFD的中位线,
∴DG=CG=
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2 |
1 |
2 |
∵CE=CF,
∴GH=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵CE<CG=
1 |
2 |
∴GH<
1 |
4 |
④∵∠DBE=45°,BE是∠DBF的平分线,
∴∠DBH=22.5°,
由②知∠HBC=∠CDF=22.5°,
∴∠DBH=∠CDF,
∵∠BHD=∠BHD,
∴△DHE∽△BHD,
∴
DH |
BH |
HE |
DH |
∴DH=HE•HB,故④成立;
所以①②④正确.
故选C.
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