八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．探究与发现（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角

Question

八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形___
【理解与应用】
（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是___．
（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC=BC，求证：AQ=2AD．

Answer 1

（1）证明：在△ADC与△EDB中，

AD=DE

∠ADC=∠BDE

CD=BD

，
∴△ADC≌△EDB；
故答案为：△ADC≌△EDB；

（2） 如图2，延长EP至点Q，使PQ=PE，连接FQ，
在△PDE与△PQF中，

PE=PQ

∠EPD=∠QPF

PD=PF

，
∴△PEP≌△QFP，
∴FQ=DE=3，
在△EFQ中，EF-FQ<QE<EF+FQ，
即5-3<2x<5+3，
∴x的取值范围是1<x<4；
故答案为：1<x<4；

（3）证明：如图3，延长AD到M，使MD=AD，连接BM，
∴AM=2AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BMD与△CAD中，

MD=AD

∠BDA=∠CDA

BD=CD

，
∴△BMD≌△CAD，
∴BM=CA，∠M=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，
∵∠ACB=∠Q+∠CAQ，AB=BC，
∵∠ACQ=180°-（∠Q+∠CAQ），∠MBA=180°-（∠BAM+∠M），
∴∠ACQ=∠MBA，
∵QC=BC，
∴QC=AB，
在△ACQ与△MBA中，

BM=CA

∠ACQ=∠MBA

QC=AB

，
∴△ACQ≌△MBA，
∴AQ=AM=2AD．