在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+sinB=2sinC，a=2b．（Ⅰ）求cos（π-A）的值；（Ⅱ）若S△ABC=4153，求c的值．

Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+sinB=2sinC，a=2b．
（Ⅰ）求cos（π-A）的值；
（Ⅱ）若S_△ABC=(4√(15))/(3)，求c的值．

Answer 1

（本小题满分12分）
（Ⅰ）∵sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得a+b=2c，（2分）
又a=2b，可得b=(2)/(3)c，（3分）．
∴cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=((4)/(9)c2+c2-(16)/(9)c2)/(2×(2)/(3)c2)=-(1)/(4)，（5分）
∴cos(π-A)=-cosA=(1)/(4)．（7分）
（Ⅱ）由cosA=-(1)/(4)，得sinA=(√(15))/(4)，（8分）
∴S△ABC=(1)/(2)bcsinA=(1)/(2)×(2)/(3)c2×(√(15))/(4)=(√(15))/(12)c2，（10分）
∴(√(15))/(12)c2=(4√(15))/(3)，解得c=4．（12分）