求解一道一元十二次方的方程(x+1)^12-24x-1=0

Answer 1

(x+1)^12-24x-1=0
[(x+1)^12-1]-24x=0
[(x+1)-1] [ (x+1)^11+(x+1)^10+(x+1)^9+(x+1)^8+(x+1)^7+(x+1)^6+(x+1)^5+(x+1)^4+(x+1)^3+(x+1)^2+(x+1)+1] - 24x = 0
x [ (x+1)^11+(x+1)^10+(x+1)^9+(x+1)^8+(x+1)^7+(x+1)^6+(x+1)^5+(x+1)^4+(x+1)^3+(x+1)^2+(x+1)+1] - 24x = 0
x [ (x+1)^11+(x+1)^10+(x+1)^9+(x+1)^8+(x+1)^7+(x+1)^6+(x+1)^5+(x+1)^4+(x+1)^3+(x+1)^2+(x+1) - 23 ] = 0
x1 = 0
另：
(x+1)^12-24x-1=0,(x+1)^12=24x+1
相当于求函数 f(x) = (x+1)^12 与函数 g(x) = 24x+1 的图像的交点
f(x) = (x+1)^12 是一条抛物线,开口向上,对称轴x=-1,顶点为(-1,0）
g(x)=24x+1为一条直线,斜率k=24,截距b=1
当x=0时,f(x)= g(x)=1,存在一个交点
x＜0时,f'(x)=12(x+1)^11＜12,f(x)恒在g(x)上方,f(x) 与 g(x)无交点
x＞0时,f‘(x)=12(x+1)^11＞12,f'(x)单调增,切线斜率k2属于（12,+∞）,故f(x)与(g(x)还会相交一次.
故除了x=0一个交点之外,在区域（0,+∞）还存在第二个交点.
相当于方程(x+1)^12-24x-1=0有两个不同的解,其中一个为x=0,第二个解在区间（0,+∞）