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讨论方程e^x=ax^2(a>0)的实根个数及其所在区间.
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讨论方程e^x=ax^2(a>0)的实根个数及其所在区间.
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答案和解析
令f(x)=e^x,g(x)=ax^2,h(x)=f(x)-g(x).显然上述三函数均连续.易得h(-∞)<0,h(0)>0,因此必存在一点x=x0,使h(xo)=o,即:f(xo)=e^xo=g(xo)=axo^2 即:e^x=ax^2在(-∞,0)上有一实根.因e^x=ax^2,将方程右边改写左边的形式,当x>0时,有x=lna+2lnx (指数相等)令u(x)=x-lna-2lnx 有u'(x)=1-2/x令u'(x1)=o 可得x1=2 并有x<x1时,u'(x)<0; x>x1时,u'(x)>0.由此可知x=x1为极小值.因此,为使方程有根,必须h(x1)≤0,即:a≥e^2/4 且u(+∞)>0 用洛必塔法则易证出x大于lnx,所以u(+∞)>0成立.综上所述:0<a<e^2/4时,方程只有1实根;a=e^2/4时,有2实根;a>e^2/4时,有3实根.
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