过椭圆x29+y24=1上一点M作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点．过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，则△POQ的面积的最小值为2323．

Question

过椭圆(x2)/(9)+(y2)/(4)=1上一点M作圆x²+y²=2的两条切线，点A，B为切点．过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，则△POQ的面积的最小值为

(2)/(3)

(2)/(3)

．

Answer 1

∵点M在椭圆(x2)/(9)+(y2)/(4)=1上，∴设M（3cosθ，2sinθ），
∵过椭圆(x2)/(9)+(y2)/(4)=1上一点M（3cosθ，2sinθ）作圆x²+y²=2的两条切线，点A，B为切点，
则|PA|²=|OP|²-2=9cos²θ+4sin²θ-2，
∴以P为圆心，以|PA|为半径的圆的方程为（x-3cosθ）²+（y-2sinθ）²=9cos²θ+4sin²θ-2  ①．
又圆的方程为x²+y²=2  ②．
①-②得，直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，
∵过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，
∴P（(2)/(3cosθ)，0），Q（0，(1)/(sinθ)），
∴△POQ面积S=(1)/(2)×|(2)/(3cosθ)|×|(1)/(sinθ)|＝(2)/(|3sin2θ|)，
∵-1≤sin2θ≤1，
∴当sin2θ=±1时，△POQ面积取最小值(2)/(3)．
故答案为：(2)/(3)．