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(2013•湖州)如图,已知P是⊙O外一点,PO交圆O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,连接PB.(1)求BC的长;(2)求证:PB是⊙O的切线.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a686c9177f3e67099887194c38c79f3df9dc55f9.jpg)
(1)求BC的长;
(2)求证:PB是⊙O的切线.
▼优质解答
答案和解析
(1)连接OB,
∵弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,
∴弧BC与弧AC的度数为:60°,
∴∠BOC=60°,
∵OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴BC=OC=2;
(2)证明:∵OC=CP,BC=OC,
∴BC=CP,
∴∠CBP=∠CPB,
∵△OBC是等边三角形,
∴∠OBC=∠OCB=60°,
∴∠CBP=30°,
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°,
∴OB⊥BP,
∵点B在⊙O上,
∴PB是⊙O的切线.
补:
证明:∵OC=CP=2,
∴OP=4,
由(1)可知:BC=OC=2,
∴BC=
OP,∠BOC=60°,
∴△OBP是直角三角形,
∴∠OBP=90°,
∴OB⊥BP,
∴PB是⊙O的切线.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8644ebf81a4c510f3812bea96359252dd52aa5ab.jpg)
∵弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,
∴弧BC与弧AC的度数为:60°,
∴∠BOC=60°,
∵OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴BC=OC=2;
(2)证明:∵OC=CP,BC=OC,
∴BC=CP,
∴∠CBP=∠CPB,
∵△OBC是等边三角形,
∴∠OBC=∠OCB=60°,
∴∠CBP=30°,
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°,
∴OB⊥BP,
∵点B在⊙O上,
∴PB是⊙O的切线.
补:
证明:∵OC=CP=2,
∴OP=4,
由(1)可知:BC=OC=2,
∴BC=
1 |
2 |
∴△OBP是直角三角形,
∴∠OBP=90°,
∴OB⊥BP,
∴PB是⊙O的切线.
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