18条线段最多可以把一个长方形分成多少个部分?

Question

18条线段最多可以把一个长方形分成多少个部分?

Answer 1

设n条线段最多把一个长方形分成an个部分,
a0=1,
第n条线段与前(n-1)条线段最多有(n-1)个交点,被分成n段,每一段把它所在区域一分为二,
∴an=a+n,
a=a+(n-1),
……
a1=a0+1,
a0=1,
累加得an=1+1+2+3+……+n=1+n(1+n)/2=(n^2+n+2)/2,
特别地,a18=172,为所求.