函数y=xcosx但x→+∞时,函数是否为无穷大?为什么?

Question

函数y=xcosx但x→+∞时,函数是否为无穷大?为什么?

Answer 1

x→＋∞时，f(x)是无穷大的定义是：对于任意大的正数M，存在正数X，对于任意的x＞X，恒有|f(x)|＞M。
分析：x很大时，始终存在使得cosx=0的x，所以|f(x)|＞M不可能恒成立。
把无穷大的定义否定，得到“不是无穷大”的定义：存在正数M，对于任意的正数X，存在x＞X，但是|f(x)|≤M。
过程：
对于正数M=1，不管正数X多大，存在正整数n，使得nπ+π/2＞X，但|f(nπ+π/2)|=0＜1。所以f(x)=xcosx不是x→＋∞时的无穷大。
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一般对于无界、无穷大可以使用函数极限与数列极限的关系来说明：如果存在数列Xn，使得f(Xn)是无穷大，则f(x)无界。如果存在数列yn，使得f(yn)的极限有限，则f(x)不是无穷大。