已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．（1）若an=3n+1，是否存在m、k∈N*，有am+am+1=ak？说明理由；（2）找出所有数列{an}和{bn}，使对一切n∈N*，an+

Question

已知{a _n }是公差为d的等差数列，{b _n }是公比为q的等比数列．
（1）若a _n =3n+1，是否存在m、k∈N ^* ，有a _m +a _m+1 =a _k ？说明理由；
（2）找出所有数列{a _n }和{b _n }，使对一切n∈N ^* ， (an+1)/(an) = b n ，并说明理由；
（3）若a ₁ =5，d=4，b ₁ =q=3，试确定所有的p，使数列{a _n }中存在某个连续p项的和是数列{b _n }中的一项，请证明．

Answer 1

（1）由a _m +a _m+1 =a _k ，得6m+5=3k+1，
整理后，可得 k-2m=(4)/(3) ，∵m、k∈N ^* ，∴k-2m为整数，
∴不存在m、k∈N ^* ，使等式成立．
（2）设a _n =nd+c，若 (an+1)/(an) = b n ，对n∈N ^× 都成立，
且{b _n }为等比数列，则 (an+2)/(an+1) /(an+1)/(an) =q ，对n∈N ^× 都成立，
即a _n a _n+2 =qa _n+1 ² ，∴（dn+c）（dn+2d+c）=q（dn+d+c） ² ，
对n∈N ^× 都成立，∴d ² =qd ²
（i）若d=0，则a _n =c≠0，∴b _n =1，n∈N ^* ．
（ii）若d≠0，则q=1，∴b _n =m（常数），即 (dn+d+c)/(dn+c) =m，则d=0，矛盾．
综上所述，有a _n =c≠0，b _n =1，使对一切n∈N ^× ， (an+1)/(an) = b n ．
（3）a _n =4n+1，b _n =3 ⁿ ，n∈N ^* ，
设a _m+1 +a _m+2 ++a _m+p =b _k =3 ^k ，p、k∈N ^* ，m∈N．
(4(m+1)+1+4(m+p)+1)/(2) p= 3 k ，
∴ 4m+2p+3=(3k)/(p) ，
∵p、k∈N ^* ，∴p=3 ^s ，s∈N
取k=3s+2，4m=3 ^2s+2 -2×3 ^s -3=（4-1） ^2s+2 -2×（4-1） ^s -3≥0，由
二项展开式可得整数M ₁ 、M ₂ ，
使得（4-1） ^2s+2 =4M ₁ +1，2×（4-1） ^s =8M ₂ +（-1） ^S 2
∴4m=4（M ₁ -2M ₂ ）-（（-1） ^S +1）2，
∴存在整数m满足要求．
故当且仅当p=3 ^s ，s∈N，命题成立．