设P、Q为线段BC上两点，且BP=CQ，A为BC外一动点（如图）．当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？试证明你的结论．

Question

设P、Q为线段BC上两点，且BP=CQ，A为BC外一动点（如图）．当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？试证明你的结论．

Answer 1

当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC为等腰三角形．
证明：如图，分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D．连接DA．
在△DBP=△AQC中，显然∠DBP=∠AQC，∠DPB=∠C．
又由BP=CQ，可知△DBP≌△AQC．
∴DP=AC，∠BDP=∠QAC．
于是，DA∥BP，∠BAP=∠BDP．
因为∠BAP=∠BDP
BP为弦，同弦所对的圆周角相等，
则A、D、B、P四点共圆，且四边形ADBP为等腰梯形．
故AB=DP．
所以AB=AC．