如图，在平面直角坐标系中，直线AB交两坐标轴于A、B两点，OA>OB，且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两根．（1）求cos∠ABO的值；（2）以线段AB的长为边作正方形ABCD（如图所示），

Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB交两坐标轴于A、B两点，OA>OB，且OA、OB的长分别是一元二次方程x²-7x+12=0的两根．

（1）求cos∠ABO的值；
（2）以线段AB的长为边作正方形ABCD（如图所示），对角线AC、BD交于点E，∠CBD的平分线BF交AC于F，求CF的长；
（3）若点M是y轴上任一点，点N是坐标平面内一点，若以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出N点的坐标．

Answer 1

（1）解一元二次方程x²-7x+12=0得，
x₁=3，x₂=4，
∵OA>OB，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得，AB=√(OA2+OB2)=5，
∴cos∠ABO=(OB)/(AB)=(3)/(5)；
（2）如图2，过F作FH⊥BC于H，
∵BF是∠CBD的平分线，
∴EF=HF，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴EF=HF=CH，又∵AB=5，
∴CE=5sin45°=(5√(2))/(2)，
设CF=x，则EF=HF=CH=(5√(2))/(2)-x，
由勾股定理得，CF²=FH²+HC²，即x²=2（(5√(2))/(2)-x）²，
解得，x₁=5√(2)-5，x₂=5√(2)+5（舍去），
答：CF的长为5√(2)-5；
（3）如图3，四边形ANMB为菱形，
点N的坐标为（-3，0），
如图4，四边形AMNB为菱形，
则BN=AB=5，
点N的坐标为（3，-5），
如图5，四边形AMBN为菱形，
设AM=x，则BM=x，OM=4-x，
由勾股定理得，BM²=OM²+OB²，即x²=（4-x）²+3²，
解得，x=(25)/(8)，
点N的坐标为（3，(25)/(8)），
如图6，四边形ABNM为菱形，
BN=AB=5，
点N的坐标为（3，5），
以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，N点的坐标为（3，5）或（3，-5）或（-3，0）或（3，(25)/(8)）．