已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有两个相等实根．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的值域；（3）若F（x）=f（x）-f（-x），试判断F（x

Question

已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有两个相等实根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的值域；
（3）若F（x）=f（x）-f（-x），试判断F（x）的奇偶性，并证明你的结论．

Answer 1

（1）已知f（x）=ax²+bx，
由f（2）=0，得4a+2b=0，即2a+b=0，①
方程f（x）=x，即ax²+bx=x，
即ax²+（b-1）x=0有两个相等实根，
且a≠0，∴b-1=0，
∴b=1，代入①得a=-(1)/(2)．
∴f（x）=-(1)/(2)x²+x．
（2）由（1）知f（x）=-(1)/(2)（x-1）²+(1)/(2)．
显然函数f（x）在[1，2]上是减函数，
∴x=1时，y_max=(1)/(2)；x=2时，y_min=0．
∴x∈[1，2]时，函数的值域是[0，(1)/(2)]．
（3）∵F（x）=f（x）-f（-x）
=（-(1)/(2)x²+x）-[-(1)/(2)x²+（-x）]=2x，
定义域关于原点对称，∴F（x）是奇函数．
证明：∵定义域关于原点对称，
F（-x）=2（-x）=-2x=-F（x），
∴F（x）=2x是奇函数．