关于等比数列和的公式首先,我声明这个问题有点钻牛角尖=我知道等比数列求和公式,可很清楚课本上是如何推导的,我想说,S=Sn=a1(1-q^n)/(1-q)若不看推导过程,直接观察这个式子,和a1a2a3a4...an

Question

关于等比数列和的公式
首先,我声明这个问题有点钻牛角尖 =
我知道等比数列求和公式,可很清楚课本上是如何推导的,
我想说,S=Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 若不看推导过程,直接观察这个式子,和
a1 a2 a3 a4...an 这个数列直接相加有直接关系吗?
（就比如说(1-q) 表示什么,a1(1-q^n)能表示什么,他们的商表示什么.）
还是说这个式子只是推导出来的计算工具,其中的那些量已经于不对应原数列的什么意义?

Answer 1

哈哈!好问题!看不看的出来,就看你功力如何.功力越深的人,就越会去注意公式背后的概念,公式与公式之间的联系.
我们先来看看等差数列的求和公式.高斯求出1+2+...+100这个故事,众人皆知,现在大家上了高中,学了等差求和,也会算这个题目了,是不是人人都是高斯了?
1+2+...+n＝n(n+1)/2.可以用画图看出来这个公式的涵义!画一个矩形,长(n+1),宽n,其面积就是n(n+1),等式右边就是这个面积的一半.也即是说,左边应该是面积的一半.哪来的一半?我们在矩形内部画出阶梯上升的折线.这就是一半!这种思维,隐藏着一种求数列和的超级大招,可以对付那些非常难求和的数列.
然后我们再来看你的等比数列.等比数列比等差也许要难一些.当我们遇到难题时,如果我们毫无思路,我们可以试探着尝试一些简单情况,而不要什么都不做.那么我们就来找怎样体现这个等比数列的实例.同样用画图的思维,先画一个正方形.然后在正方形内部,连接每条边的中点,又画出一个正方形.这个新正方形是不是大正方形面积的一半?我想你已经知道怎么构造一个等比数列了,这样的正方形可以一直画下去.当然你会说这只是q=1/2的特例.别急,我们先把这个简单的特例处理完整再说.回到我们画的正方形,现在我问你这一个个正方形的面积和是多少?当然你可以根据求和公式求出.但是你就没法凭肉眼看出吗?如果我问一个小学生,难道他就说不出答案吗?小学生能.抛开最大最开始那个正方形,剩下正方形的面积和 可以用肉眼看出,正好是最大的正方形－最小的正方形.这个结果绝对有小学生看得出来,只要他不是太笨.这样,我们就从图形面积上得到了等比数列的和.如果我们要把公比q推广,有办法,那就是把正方形推广.然后把内部图形扩展到外部图形,对应q>1的情况.总之,只有你想不到,而没有不存在的东西.
上天给了你一双眼睛,你用她去发现美.别人都看不出来,你却看了出来,这就是你的价值.