已知二次曲线Ck的方程：x29−k+y24−k＝1．（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；（2）若双曲线Ck与直线y=x+1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；（3）m、n为正整数，且m＜n，是否存

Question

已知二次曲线C_k的方程：(x2)/(9−k)+(y2)/(4−k)＝1．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）若双曲线C_k与直线y=x+1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；
（3）m、n为正整数，且m＜n，是否存在两条曲线C_m、C_n，其交点P与点F1(−√(5)，0)，F2(√(5)，0)满足PF₁⊥PF₂，若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）当且仅当

9−k＞0

4−k＞0

9−k≠4−k

⇒k＜4时，方程表示椭圆；----（2分）
当且仅当（9-k）（4-k）＜0⇒4＜k＜9时，方程表示双曲线．---（4分）
（2）

y＝x+1

(x2)/(9−k)+(y2)/(4−k)＝1

化简得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0----（6分）
△≥0⇒k≥6或k≤4所以6≤k＜9-------（8分）
双曲线的实轴为2√(9−k)，当k=6时，双曲线实轴最长为2√(3)
此时双曲线方程为(x2)/(3)−(y2)/(2)＝1-------（10分）
（3）由（1）知C₁，C₂，C₃是椭圆，C₅，C₆，C₇，C₈是双曲线，结合图象的几何性质
任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间无公共点------（12分）
设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，m∈{1，2，3}，n∈{5，6，7，8}
由椭圆与双曲线定义及

作业帮用户 2017-10-24

问题解析

（1）当且仅当分母都为正，且不相等时，方程表示椭圆；当且仅当分母异号时，方程表示双曲线．
（2）将直线与曲线联立

y＝x+1

(x2)/(9−k)+(y2)/(4−k)＝1

化简得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0，利用双曲线C_k与直线y=x+1有公共点，可确定k的范围，从而可求双曲线的实轴，进而可得双曲线方程；
（3）由（1）知C₁，C₂，C₃是椭圆，C₅，C₆，C₇，C₈是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间无公共点，从而可求．

名师点评

本题考点：

椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．

考点点评：

本题以二次曲线为载体，考查二次曲线的性质，考查直线与曲线的位置关系，有一定难度．

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