已知圆C与两坐标轴都相切,圆心C到直线y=-x的距离等于根号21、求圆C的方程2、若直线l与x轴正半轴与y轴正半轴分别交于A(m,0),B(0,n)两点(m>2,n>2),且直线l与圆C相切,求三角形AOB面积的最小值重点

Question

已知圆C与两坐标轴都相切,圆心C到直线y=-x的距离等于根号2
1、求圆C的方程 2、若直线l与x轴正半轴与y轴正半轴分别交于A(m,0),B(0,n)两点(m>2,n>2),且直线l与圆C相切,求三角形AOB面积的最小值
重点是第二题

Answer 1

i)
由题意圆C与两坐标轴都相切知：圆心C在直线y=x上或在直线y=-x上
因为圆心C到直线y=-x的距离为根号2,所以圆心不在直线y=-x上
所以圆心在直线y=x上
设圆心为（a,a)
则圆心到直线y=-x的距离d=|a+a|/√2=√2
所以a=±1
所以方程为（x+1)^2+(y+1)^2=或（x-1)^2+(y-1)^2=1
2)因为m＞2,n＞2
所以直线交x、y轴于正轴 所以方程只能为（x-1)^2+(y-1)^2=1
设直线方程y=kx+b 带入A、B两点坐标即得X/m+Y/n=1,化简即nx+my-mn=0
所以圆心到该直线的距离d=|n+m-mn|/√n^2+m^2=1
化简得mn=2(m+n-1)
由重要不等式有：m+n≥2√mn
又m+n=mn/2+1
所以mn/2+1≥2√mn 设mn=t
化简该不等式得：t^2-12t+4≥0 解得t≥6+4√2或t≤6-4√2
又m＞2,n＞2所以t>4 又6-4√2