如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长及侧棱长均为2，D是棱AB的中点，（1）求证AC1∥面CDB1；（2）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长及侧棱长均为2，D是棱AB的中点，
（1）求证AC₁∥面CDB₁；
（2）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

证明：（1）如图所示：
理解对角线BC₁、CB₁交于点M，连接MD．
∵侧面BB₁C₁C是正方形，∴BM=MC₁．
又BD=DA，∴DM∥AC₁．
又∵AC₁⊄平面CDB₁，DM⊂平面CDB₁．
∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）由（1）可知：DM∥AC₁，∴∠DMB₁或其补角为异面直线AC₁与CB₁所成的夹角．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长及侧棱长均为2，
∴DM＝(1)/(2)AC1＝(1)/(2)×2√(2)＝√(2)，MB1＝(1)/(2)CB1＝(1)/(2)×2√(2)＝√(2)，DB1＝√(12+22)=√(5)．
在△DMB₁中，由余弦定理得cos∠DMB₁=

2×(

作业帮用户 2017-11-13

问题解析

（1）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用三角形的中位线定理先作出异面直线所成的角，再使用余弦定理即可求出．

名师点评

本题考点：

直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角．

考点点评：

熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的性质、线面平行的判定定理及异面直线所成的角是解题的关键．

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